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Trassierung mit Geraden, Funktionsgleichung aufstellen, Steckbriefaufgabe, Rekonstruktion Ausführliches Beispiel Gegeben seien die folgenden Funktionen auf ihren jeweils vorgegeben Definitionsbereichen: g(x)=-x^2+4, \quad D_g=[-2;1] \quad \text{und} \quad h(x)=1, \quad D_h=[3;5]. Die beiden gegebenen Funktionen sollen sprung- und knickfrei miteinander verbunden werden. Steckbriefaufgaben Schritt für Schritt erklärt - StudyHelp. Wie das ganze am Ende aussehen soll, zeigt die nebenstehende Abbildung. Wir arbeiten das obige Vorgehen ab und vermuten aus der Aufgabenstellung, dass die Funktion den Grad 3 haben soll. Eine ganz allgemeine Funktion dritten Grades sieht so aus: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Es gilt also 4 Unbekannte zu bestimmen: $a, b, c$ und $d$. \begin{array}{rllcrcrcrcrcr} I & sprungfrei: &g(1)=f(1) & \Rightarrow & 3 & = & a &+&b&+&c&+ &d \\ II & sprungfrei: &h(3)=f(3) & \Rightarrow & 1 & = & 27a&+&9b&+&3c&+ &d \\ III & knickfrei: &g'(1)=f'(1) & \Rightarrow & -2 & = & 3a&+&2b&+&c& &\\ IV & knickfrei: &h'(3)=f'(3) & \Rightarrow & 0 & = & 27a&+&6b&+&c& & \end{array} Das Gleichungssystem, bestehend aus 4 Gleichungen, müssen wir jetzt mit den uns bekannten Verfahren oder dem Taschenrechner lösen.
In vielen Abituraufgaben im Fach Mathematik wiederholen sich häufig die Themen und Aufgabenstellungen. Mit Hilfe dieser Zusammenstellung kannst Du dich Thema für Thema auf die Abiturprüfung vorbereiten. Eine Übersicht der Themenbereiche findet man unter Übersicht Themen in Abituraufgaben Dieses Thema kommt in 1 bayerischen Abituraufgaben vor.
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{3}{4}x+2, \quad D_f=[-2;2]. An dieser Stelle wollen wir uns noch ein weiteres Beispiel angucken, bei dem es eine eindeutige Lösung gibt. Es sind zwei Geraden g(x)=-4x-14, \ \ -5 \leq x \leq -2 \quad \textrm{und} \quad h(x)=6x-6, 5, \ \ 0, 5 \leq x \leq 3, gegeben, die jeweils nur in einem bestimmten Abschnitt definiert sind. Diese beiden Geraden sollen nun so miteinander verbunden werden, dass sie eine knickfreie Parabel darstellen. Steckbriefaufgaben mit lösungen. Die untere Skizze stellt die qualtiativen Verläufe der Geraden und der gesuchten Parabel anschaulich dar. Eine allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel und dessen erster Ableitung lautet: f(x)&=ax^2+bx+c \\ f'(x)&=2ax+b Es müssen 3 Unbekannte bestimmt werden. Im nächsten Schritt überlegen wir uns die Bedingungen. \text{ohne Sprung:} \quad g(-2) &=f(-2) \quad \Rightarrow -6=a(-2)^2-2b+c \\ \text{ohne Sprung:} \quad h(0, 5) &=f(0, 5) \quad \Rightarrow -3, 5=a(0, 5)^2+0, 5b+c \\ \text{ohne Knick:} \quad g'(-2) &=f'(-2) \quad \Rightarrow -4=-4a+b \\ \text{ohne Knick:} \quad h'(0, 5) &=f'(0, 5) \quad \Rightarrow 6=a+b \\ Nach dem Auflösen des Gleichungssystem erhalten wir für die Unbekannten $a=2$, $b=4$ und $c=-6$ und die gesuchte Parabelgleichung f(x)=2x^2+4x-6, \quad D_f=[-2;0, 5].