Achsensymmetrie bedeutet, dass eine Figur eine Symmetrieachse hat, was bedeutet, dass ein Objekt links und rechts von dieser Achse identisch ist. Würde man nun die Figur an dieser Achse "umklappen", würden die beiden Hälften deckungsgleich sein. Hier seht ihr ein Beispiel, für eine achsensymmetrische Figur. Die gestrichelte Linie ist dabei die Symmetrieachse. Punkt und achsensymmetrie restaurant. Links und rechts von dieser Achse ist die Figur identisch, weshalb sie achsensymmetrisch ist. Punktsymmetrie bedeutet, dass die Punkte einer Figur an einem Spiegelpunkt gespiegelt werden und dabei die Figur gleich bleibt. Sie wird auch häufig als Drehsymmetrie bezeichnet, da man die Figuren auch um 180° drehen kann, was einer Punktspiegelung gleich kommt, und wenn dann dasselbe raus kommt, ist die Figur drehsymmetrisch. Hier seht ihr eine punktsymmetrische Figur, wenn alle Punkte am Spiegelpunkt gespiegelt werden, kommt wieder exakt dieselbe Figur raus. Genauso, wenn man sie um 180° um sich selbst dreht. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch bzw. drehsymmetrisch.
Die linke Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der Rechten. Symmetrie zur y-Achse Achsensymmetrie zur y-Achse zeigen Rechnerisch muss hier gelten: f(-x) = f(x). Um das für alle x zu zeigen, gehst du am besten so vor: f(-x) aufstellen. Du ersetzt überall x mit -x. Vereinfachen Prüfen, ob f(x) rauskommt Klingt gar nicht so schwer, oder? Probiere das gleich mal an dieser Funktion aus: f(x) = x 4 -2x 2 -3 Jetzt gehst du Schritt für Schritt vor: f(-x) aufstellen f(-x) = (-x) 4 -2(-x) 2 -3 Vereinfachen (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3 Prüfen, ob f(x) rauskommt x 4 -2x 2 -3 = f(x) Super! Du hast gezeigt, dass die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Achsensymmetrie und Punktsymmetrie - lernen mit Serlo!. Dieses Symmetrieverhalten siehst du auch an ihrem Graphen: Der Graph ist achensymmetrisch zur y-Achse Du willst lieber einen kürzeren Weg ohne viel zu rechnen? Dann ist dieser Trick für dich genau das richtige! Tipp: gerade Exponenten Ganzrationale Funktionen der Form a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 0 sind genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn sie nur gerade Hochzahlen haben!
Das Standard-Beispiel ist f(x)=x². Eine Funktion f ist punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunkts, wenn f(x)=-f(-x) für alle x-Werte des Definitionsbereichs gilt. Das Standard-Beispiel ist f(x)=x³. Zwei aufwändigere Beispiele. Unter den Relationen F(x, y)=0 findet man solche mit Graphen, die achsen- und zugleich punktsymmetrisch sind. Sie sind achsensymmetrisch bezüglich der x- und y-Achse und punktsymmetrisch bzgl. des Nullpunkts. Es gilt F(x, y)=F(-x, -y) Symmetrische Körper Wenn man ein Quadrat wie in den Zeichnungen angegeben faltet, gelangt man zu zwei symmetrischen Körpern. (1) Seite 210f. und 219f....... Martin Gardner schreibt in (1): "Ich habe einmal behauptet, dass ein dreidimensionaler Körper, der keine Symmetrieebene hat,... nicht mit seinem Spiegelbild zur Deckung gebracht werden könne... Diese Aussage ist falsch! Punkt und achsensymmetrie erkennen. " Der nebenstehende Körper ist drehsymmetrisch der Ordnung 2 und nicht spiegelsymmetrisch. Er geht trotzdem in sich selbst über, wenn man ihn an der Quadratebene spiegelt.
Dazu ermitteln wir wieder f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x). Beispiel 3: Ist die Funktion f(x) = x + 2 spiegelsymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir wieder f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x). 2. Punktsymmetrie ( Standardsymmetrie) Das zweite Symmetrieverhalten ist die Punktsymmetrie. Beginnen wir erst einmal mit einer kurzen Definition bevor wir uns eine Grafik und Beispiele ansehen. Eine Funktion y = f(x) mit einem symmetrischen Definitionsbereich D heißt ungerade, wenn für jedes x ε D die Bedingung f(-x) = -f(x) erfüllt ist. In diesem Fall ist die Funktion auch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die folgende Grafik zeigt die Funktion y = x 3. Wir nehmen uns nun einen Punkt auf deren Verlauf und spiegeln diesen am Koordinatenursprung ( roter Punkt). Tun wir dies, erhalten wir einen weiteren Punkt, der ebenfalls auf dem Kurvenverlauf liegt. Achsen- und punktsymmetrische Figuren. Soweit zur Grafik. Aber es ist doch sicherlich viel zu kompliziert eine Funktion immer zu zeichnen und dann nachzusehen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt?