Methode der kleinsten Quadrate Definition Die lineare Regression basiert auf der von Carl Friedrich Gauß entwickelten Methode der kleinsten Quadrate. Um die Ausgleichs- bzw. Regressionsgerade zu finden, die am besten zu den Datenpunkten passt, werden die quadrierten Abstände (Abstandsquadrate) zwischen den Datenpunkten (Messwerten) und der Regressionsfunktion/-geraden minimiert. Das Quadrat der Abstände wird verwendet, um positive und negative Abweichungen gleich zu behandeln und um zu vermeiden, dass sich die Abweichungen gegenseitig aufheben (das könnte man auch durch die Verwendung absoluter Beträge erreichen) und um große Fehler stärker zu gewichten (1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9 etc. ; die Verhältnisse ändern sich also nicht "nur" um 100% (von 1 auf 2) bzw. 50% (von 2 auf 3), sondern um 400% (von 1 auf 4) bzw. um 225% (von 4 auf 9)). Alternative Begriffe: Kleinste-Quadrate-Methode, KQ-Methode, Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Beispiel: Methode der kleinsten Quadrate Um diese Abstände zu zeigen, werden die Beispieldaten zur linearen Regression bzgl.
Die Methode der kleinsten Quadrate wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt und bildet die Basis für die lineare Regression. In dieser Methode werden die Abstandsquadrate, welche sich zwischen den Datenpunkten, bzw. den Messpunkten befinden, und die Abstandsquadrate der Regressionsgeraden minimiert, um die Ausgleichs- bzw. Regressionsgerade zu finden, welche am besten zu den Datenpunkten passt. Grund für die Verwendung des Quadrates der Abstände ist, dass positive und negative Abweichungen so gleich behandelt werden können. Sonst könnte es passieren, dass sich diese gegenseitig aufheben. Gleichzeitig werden große Fehler so stärker gewichtet. Andere mögliche Bezeichnungen Die Methode der kleinsten Quadrate ist auch unter den Begriffen Kleinste-Quadrate-Methode, KQ-Methode oder auch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate bekannt. Ein Beispiel Um die Methode der kleinsten Quadrate anwenden und berechnen zu können und die Abstände zu zeigen, müssen die Beispieldaten der linearen Regression der Schuhgröße abgeändert werden, um einige Differenzen verzeichnen zu können, was nicht der Fall ist, wenn die Daten, wie bei der Schuhgröße, perfekt auf einer Linie liegen und die Methode der kleinsten Quadrate somit nicht greift und nicht anwendbar ist.
Methode der kleinsten Fehlerquadrate.. rt und von a-z exemplarisch durchgerechnet... erforderliche Vorkenntnisse: Grundlagen der Differentialrechnung (Ableitungen, Extremwertbestimmung) Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate dient in der Mathematik u. A. dazu, aus einer Reihe von Messwerten ein Gesetz zu erschlieen oder voraussagen ber weitere Messwerte zu treffen. Mit einem Beispiel lsst sich die Idee am besten veranschaulichen: Nehmen wir an, die folgenden 4 Messwerte wurden bei einem Experiment aufgenommen: x y z. B. Zeit in Sekunden z. zurckgelegte Wegstrecke 1 1. 41 2 1. 60 3 2. 05 4 2. 22 oder noch einmal anders formuliert, haben wir 4 Punkte im xy-Koordinatensystem: $$\begin{eqnarray} P_1 = \left(\begin{array}{c} P_1x \\ P_1y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1. 41 \end{array}\right) \\ P_2 = \left(\begin{array}{c} P_2x \\ P_2y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1. 60 \end{array}\right) \\ P_3 = \left(\begin{array}{c} P_3x \\ P_3y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2.
Allerdings sind mit dem Prädiktor Intelligenz die Punkte deutlich näher an der Geraden. Die rechte Graphik mit dem Prädiktor Körpergröße erzeugt eine viel breitere Punktewolke. Die Vorhersage des Einkommens mit der Intelligenz als Prädiktor funktioniert also deutlich besser als mit dem Prädiktor Körpergröße. Du kannst anhand eines Graphen also schon erkennen, ob eine Schätzung genauer ist (links) oder ungenauer(rechts). Um zu testen, wie gut die Vorhersage deines Regressionsmodell ist, berechnest du den sogenannten Determinationskoeffizient (R 2). Den Determinationskoeffizienten R ² erhältst du, indem du die Regressions varianz durch die Gesamtvarianz teilst. R ² drückt also den Anteil des Kriteriums aus, der mit dem Prädiktor vorhergesagt werden kann. Das Ergebnis ist ein Prozentwert. Du kannst also direkt interpretieren, wieviel Prozent der Varianz des Kriteriums durch den Prädiktor erklärt wird. Wie der Determinationskoeffizient R² genau berechnet wird, erfährst du hier! Lineare Regression Klasse!
Theorem 2. 1 Der Vektor mit (4) minimiert den mittleren quadratischen Fehler, wobei, die Stichprobenmittel bezeichnen, d. h. und die Stichprobenvarianzen bzw. die Stichprobenkovarianz gegeben sind durch
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