1. Motivation Viele Aufgabenstellungen sind mit der Suche nach Hoch- und Tiefpunkten verbunden. Graphisch fällt es ziemlich leicht, die gesuchten Punkte zu finden. Dank der Ableitungen von Funktionen ist es auch möglich, die gesuchten Stellen zu finden, ohne den Graphen zeichnen zu müssen, verbunden mit der Tatsache, dass die gefundenen Werte exakter sind, da die Stellen nicht abgeschätzt werden, sondern berechnet werden können. Im folgenden betrachten wir zwei Möglichkeiten, lokale Extremstellen zu finden, wobei die untersuchten Funktionen mehrfach differenzierbar sein sollen (also ableitbar und damit "ohne Knick") und jede Funktion und ihre Ableitungen stetig, also "in einem Zug zeichenbar". 2. Erste hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen Das Besondere an Hoch- und Tiefpunkten ist zum einen, dass dort waagrechte Tangenten vorliegen. Figure 1. Funktion f mit waagrechter Tangente am Tiefpunkt A Somit ist die erste Ableitung der Funktion \$f\$ an dieser Stelle 0. Figure 2. Funktion f mit waagrechter Tangente und der Ableitung f' Aber Vorsicht: Die Schlussfolgerung \$f'(x_0)=0=>\$ Extremstelle bei \$x_0\$ ist falsch!
Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnet, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum, Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man die Extrempunkte des Graphen einer Funktion findet. Dann zeige ich den Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x) und mit Hilfe der zweiten Ableitung von f(x). Danch erkläre ich anhand eines anschaulichen Beispieles, was norwendige und hinreichende Bedingungen sind. Schließlich zeige ich, was Relative und absolute Extrema sind. Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Beim Zeichnen eines Funktionsgraphen war es bislang unbefriedigend, den Hochpunkt und den Tiefpunkt nicht zu kennen. Mit Hilfe der Differentialrechnung wollen wir nun versuchen, dieses Problem zu lösen. Definitionen Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum, Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum: Hochpunkte bzw. Tiefpunkte nennt man Extrempunkte des Graphen von f(x). Der x-Wert eines Extrempunktes heißt Extremstelle, der Funktionswert einer Extremstelle heißt Extremwert.
Vielmehr liegt die Vermutung nahe, dass es sich hier um eine Sattelstelle handelt. Versucht man jedoch, die erste hinreichende Bedingung anzuwenden, so ergibt die Überprüfung auf einen Vorzeichenwechsel bei \$x_0=0\$ \$x\$ -1 0 1 \$f'(x)\$ -4 4 Bei 0 liegt somit ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, so dass dort nach der ersten hinreichenden Bedingung eine Minimumstelle vorliegen muss. Sollte die zweite hinreichende Bedingung an einer Stelle \$x_0\$ keine Aussage treffen können, so muss dort noch die erste hinreichende Bedingung überprüft werden. Hier zeigt sich nochmal: \$f''(x_0)=0\$ bedeutet nicht, dass bei \$x_0\$ eine Wendestelle vorliegt! 5. Sonderfall konstante Funktion Ein Sonderfall in Bezug auf lokale Extremstellen ist eine konstante Funktion der Form \$f(x)=c\$ mit \$c in RR\$. Sie hat nach Definition unendlich viele lokale Maxima bzw. Minima. Das liegt daran, dass z. B. eine lokale Minimumstelle definiert ist als eine Stelle \$x_0\$, für die gilt \$f(x)>=f(x_0)\$ für alle \$x in U(x_0)\$, wobei mit \$U(x_0)\$ die nähere Umgebung von \$x_0\$ gemeint ist.
Es gab dar ein paar diverse Ausnahmen.
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