Die Reihe der Form s n = ∑ k = 0 n a q k s_n=\sum\limits_{k=0}^n aq^k (1) heißt geometrische Reihe. Dabei ist a ∈ R a\in\dom R eine beliebige reelle Zahl. Geometrische reihe rechner sault ste marie. Im Beispiel 5409A hatten wir ermittelt, dass s n = a 1 − q n + 1 1 − q s_n=a\, \dfrac {1-q^{n+1}}{1-q} (2) gilt. Damit können wir jetzt die Konvergenz der Reihe (1) beurteilen, indem wir den Grenzwert der Zahlenfolge (2) betrachten. Offensichtlich konvergiert die Folge (2) für ∣ q ∣ < 1 |q|<1 und der Grenzwert ergibt sich mit a 1 − q \dfrac a{1-q}, also Beispiel 5409C (Grenzwert der geometrischen Reihe) Für ∣ q ∣ < 1 |q|<1 gilt: ∑ k = 0 ∞ a q k = a 1 − q \sum\limits_{k=0}^\infty aq^k=\dfrac a{1-q} bzw: ∑ k = 1 ∞ a q k = a q 1 − q \sum\limits_{k=1}^\infty aq^k=\dfrac {aq}{1-q}, wenn die Summation mit k = 1 k=1 beginnt. Startet man die Summation allgemein mit k = m k=m so ergibt sich ∑ k = m ∞ a q k = a q m 1 − q \sum\limits_{k=m}^\infty aq^k=\dfrac {aq^m}{1-q}, Für ∣ q ∣ ≥ 1 |q|\geq 1 divergiert die Reihe. Speziell gilt: Für q = − 1 q=-1 ist s n = { 1 falls n = 2 k 0 falls n = 2 k + 1 s_n=\begin{cases}1 &\text{falls} &n=2k\\0 &\text{falls} & n=2k+1\end{cases} und für q = 1 q=1 ist s n = n + 1 s_n=n+1.
Eines der bekanntesten Beispiele ist die Verzinsung einer Rente. Nehmen wir einmal an, dass du über 10 Jahre hinweg jedes Jahr einen Betrag von 5000€ beiseite legst und ihn zu einem Zinssatz von 2% anlegst. Dann kannst du mit Hilfe der geometrischen Summenformel ausrechnen, wie viel Geld du nach den 10 Jahren hast. Das Geld aus dem ersten Jahr, wird für volle 10 Jahre angelegt und hat dabei einen Zuwachs von 2% Zinsen, wird also mit 1, 02 multipliziert. Im nächsten Jahr profitierst du aber nur noch 9 Jahre lang von den Zinsen, dann 8 Jahre, dann 7 Jahre… Die Rechnung kannst du jetzt zusammenfassen und mit der geometrischen Summenformel schnell ausrechnen. Komplexe geometrische Reihe berechnen | Mathelounge. Ganz ähnlich kannst du aber auch berechnen, wie dick ein Blatt Papier nach fünfmaligem Falten wird oder die Anzahl an Reiskörnern, wenn du sie jedes Jahr verdoppelst. Geometrische Reihe im Video zum Video springen Die geometrische Summenformel brauchst du häufig, um die Partialsummen bei der geometrischen Reihe auszurechnen. Wir haben ein extra Video für dich vorbereitet, in dem du alles Wichtige über die geometrische Reihe in kurzer Zeit erfährst.
359 Aufrufe Aufgabe: \( \sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)= Problem/Ansatz: Dort findet man die Lösung, aber nicht den Weg. ich komme bis: Formel: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}} \)=\( \frac{(q^{n+1})-1}{q-1} \) \( \sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)=\( \sum\limits_{k=0}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \) - \( \sum\limits_{k=0}^{4}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)=\( \frac{\frac{5}{-1+2i}^{11}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1} \) - \( \frac{\frac{5}{-1+2i}^{5}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1} \) und hier weiß ich nicht wie ich vereinfachen kann/vorgehe stimmt die formel \( \sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}} \)=\( \frac{(q^{n+1})-1}{q-1} \) für die aufgabe? oder gibt es eine einfachere Formel? Ich habe bereits nach so einer frage gesucht aber entweder nichts ähnliches gefunden oder ich hab die rechenschritte nicht nachvollziehen können. Geometrische reihe rechner grand rapids mi. wäre schön wenn es jemand gibt der den Rechenweg step für step aufschreiben könnte. Vielen Dank schonmal im Voraus Gefragt 22 Jul 2020 von 4 Antworten Neben dem Tipp von Spacko ist vielleicht auch eine vorherige Umformung der Formel sinnvoll: $$\frac{q^{11}-1}{q-1}-\frac{q^{5}-1}{q-1} =\frac{q^{11}-q^5}{q-1} =q^5*\frac{q^{6}-1}{q-1}$$$$=q^5*(q^5+q^4+q^3+q^2+1)$$ Mit q=-1-2i gibt es q^2 = -3+4i q^3=11+2i q^4 = (q^2)^2 = -7-24i und das mal q gibt q^5 = -41+38i In der Klammer also -40+18i und das q^5 gibt 956-2258*i Beantwortet 23 Jul 2020 mathef 252 k 🚀
Geometrische Summenformel einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:14) Mit der geometrischen Summenformel kannst du Summen mit einem Exponenten schnell ausrechnen. Dabei kannst du für q jede reelle Zahl einsetzen, außer die 1. Das n steht wie meistens für eine natürliche Zahl. Häufig brauchst du die geometrische Summenformel, um die Partialsumme einer geometrischen Reihe auszurechnen. Unendliche geometrische reihe rechner. Beweis: Geometrische Summenformel Nun zeigen wir dir, wie du den oberen Satz beweisen kannst. Schreibe zuerst die geometrische Summe aus (I) Multipliziere die gesamte Gleichung mit q, um zu erzeugen Ziehe die zweite Gleichung von erster Gleichung ab Klammere links die Summe aus und fasse den Ausdruck rechts zusammen Teile die Gleichung durch Beachte, dass du den letzten Schritt nur durchführen darfst, weil du den Fall ausgeschlossen hast. Ansonsten würdest du an dieser Stelle durch 0 teilen. Damit hast du die geometrische Summenformel hergeleitet und der Beweis ist abgeschlossen. Geometrische Summenformel Induktion im Video zur Stelle im Video springen (01:44) Du kannst die Formel aber genauso über die vollständige Induktion beweisen.