In der Mathematik steht man immer wieder vor der Aufgabe, eine fehlende Seitenlänge in einem Dreieck zu berechnen. Eine solche Aufgabe kann man einmal mit den Winkelfunktionen lösen. Die einfachere Möglichkeit ist die Lösung mit dem Satz des Pythagoras. Der Unterschied zwischen den Winkelfunktionen und dem Satz des Pythagoras ist, dass man mit den Winkelfunktionen die Seitenlängen jedes beliebigen Dreiecks berechnen kann, mit dem Pythagorassatz jedoch nur Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken. Dreieck mit einem rechten Winkel Für die Berechnung einer fehlenden Seitenlänge braucht man beim Satz des Pythagoras zwei Seitenlängen. Die Seitenlängen, die den rechten Winkel bilden, werden immer mit a und b angegeben, auch Katheten genannt. Man kann a und b vertauschen, das spielt bei der Berechnung keine Rolle. Die längste Seite ist immer c, auch Hypotenuse genannt. Der Lehrsatz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate von a und b gleich c² ist. Daher lautet die Pythagoras Formel: a² + b² = c².
Höhensatz und Kathetensatz Es gibt noch 2 weitere Berechnungen, die sich auf rechtwinklige Dreiecke beziehen. Sie leiten sich aus dem Satz des Pythagoras ab. Dazu zeichnest du die Höhe auf der Hypotenuse des Dreiecks ein. Die Hypotenuse (die längste Seite im Dreieck) wird durch die Höhe auf ihr in 2 Teile geteilt. Meistens heißen die Teilstücke $$q$$ und $$p$$. Die neuen beiden Sätze, die du jetzt lernst, sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Es ist egal, wo die Hypotenuse liegt. Jede Höhe auf einer Hypotenuse teilt das Dreieck in 2 weitere rechtwinklige Dreiecke. Der Höhensatz Der Höhensatz lautet: $$h^2=q*p$$ In Worten gesprochen bedeutet der Höhensatz: Zeichnest du ein Quadrat mit der Seitenlänge $$h$$, ist das genauso groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten $$p$$ und $$q$$. Beispiel: $$h=4$$ $$cm$$ $$q=8$$ $$cm$$ $$p=2$$ $$cm$$ Hier ist das Quadrat mit der Seitenlänge $$h =4$$ $$cm$$ eingezeichnet. Der Flächeninhalt ist hier $$16$$ $$cm^2$$. Du rechnest $$4*4 = 16$$ $$cm^2$$.
So hat das Quadrat über der Seite a die Seitenlängen a und somit den Flächeninhalt a 2. Führt man diesen Schritt bei allen Seiten des Dreiecks durch, so erhält man drei Quadrate mit den Flächeninhalten a 2, b 2 und c 2. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe aus a 2 und b 2 gleich c 2 ist. Um dies zu veranschaulichen, kannst du dir gerne dieses kurze Video anschauen. Mit dieser Formel in der Form können wir aber noch nicht die Seitenlänge bestimmen, sondern nur den Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten. Um auf eine Seitenlänge zu kommen, müssen wir noch die Wurzel ziehen. Somit lautet die Formel, mit der wir die Seitenlänge c bestimmen können: BEACHTE! Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist die Zahl selbst, somit ergibt sich: = c. a 2 und b 2 stehen aber gemeinsam unter der Wurzel. Also können wir aus der Summe a 2 + b 2 nicht einfach die Summe aus a + b machen ( Wurzelgesetz). Du hast jetzt verstanden, was der Satz des Pythagoras besagt und wann du ihn anwenden kannst. Satz des Pythagoras umstellen Der Satz des Pythagoras lässt sich beliebig nach allen Seiten, je nachdem welche Seite gesucht ist, umstellen.
Die Formel lautet: a 2 + b 2 = c 2 Ist die Seite a oder b gesucht, kannst du die Formel umstellen. a 2 + b 2 = c 2 | -b 2 a 2 = c 2 – b 2 Mit dieser Formel kannst du die Seitenlänge a des rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Genau nach derselben Methode kannst du die Formel für die Seitenlänge b umstellen. a 2 + b 2 = c 2 |-a^2 b 2 = c 2 – a 2 Satz des Pythagoras – Aufgaben #1. Wie lang ist die Seite c eines Dreiecks mit den Katheten b=4 und a=3? #2. Wie lang ist die Seite a eines Dreiecks mit den Seitenlängen c=10 (Hypotenuse) und b=5 (Kathete)? 5 8, 66 7, 93 15 #3. Wie lang ist die Seite c eines Dreiecks mit den Katheten-Quadraten a^2 = 25 und b^2 = 9? 34 26, 57 5, 83 20, 96 #4. Ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 4, b = 12 und c = 15 ein rechtwinkliges Dreieck? c 2 = a 2 + b 2 | Werte einsetzen c 2 = 4 2 + 3 2 | Wurzel ziehen c = 5 Als erstes müssen wir die Formel für den Satz des Pythagoras nach a^2 umstellen. a 2 + b 2 = c 2 |- b 2 a 2 = c 2 – b 2 |Werte einsetzen a 2 = 10 2 – 5 2 |Wurzel ziehen a = 8, 66 c 2 = 25 + 9 |Wurzel ziehen c = 5, 83 Bei jedem rechtwinkligen Dreieck stimmt der Satz des Pythagoras und die Gleichung a 2 + b 2 = c 2.