Bei einer Kurvendiskussion (auch Kurvenuntersuchung genannt), wird eine Funktion auf ihre geometrischen Eigenschaften hin untersucht. Dabei lassen sich diese Eigenschaften in Form von einigen markanten Punkten zusammenfassen. Abgeschlossen wird eine Kurvendiskussion meistens mit einer Skizze der Funktion, in der alle gefundenen Punkte eingetragen werden. Allgemein gilt: Sind nicht nur die Stellen, sondern die Punkte gefragt, muss die Stelle (Nullstelle, Extremstelle, Wendestelle,... Kurvendiskussion merkblatt pdf free. ) in die Ausgangsfunktion f ( x) eingesetzt werden, nicht in eine Ableitung! Bei periodischen Funktionen ist oft nicht nur eine Lösung gefragt, sondern alle. Daher müssen, wie im ersten Punkt Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Laufvariablen eingeführt werden, um alle Lösungen zu berücksichtigen. Jede Komponente einer Kurvendiskussion muss zwei verschiedene Kriterien erfüllen um gültig zu sein: das notwendige und das hinreichende Kriterium. Notwendig und hinreichend sind hier zwei mathematische Wörter.
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Wir suchen uns daher zwei x-Werte aus, von denen einer größer, der andere kleiner als 2 ist. z. B. wählen wir x1=1 und x2=3. Nun setzen wir diese beiden x-Werte in f'(x) ein: Wir erhalten beide Male ein positives Vorzeichen. [der Wert "0, 75" spielt keine Rolle] ⇒ Bei x=2 liegt also kein Extrempunkt vor. Wendepunkte Bei der Berechnung der Extrempunkte erhielten wir f'(2)=0 (siehe Berechnung der Extrempunkte weiter oben). Funktionsanalyse, Funktionsuntersuchung, Kurvendiskussion, Nullstellen, Extrema | Mathe-Seite.de. Dies bedeutet, dass bei x=2 die Steigung Null ist. Im Punkt W(2|2) ist also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Es handelt sich somit um einen Sattelpunkt! ⇒ SP( 2 | 2) Kurvendiskussion / Funktionsanalyse Beispiel b. Zeigen Sie, dass f(x) bei N1(-2|0) und bei N2(2, 5|0) Nullstellen besitzt. Untersuchen Sie f(x) auf Extrem- und Wendepunkte, Symmetrie und Asymptoten. Fertigen Sie eine Zeichnung. Wenn man die Nullstellen braucht, setzt man normalerweise f(x)=0 und löst nach x auf. Hier jedoch sind die Nullstellen bereits gegeben. Also setzen wir einfach die x-Werte in die Funktion ein und sollten als y-Wert "0" erhalten.
⇒ Zeichnung der Funktion. [Eventuell mit Wertetabelle] Schematische Darstellung der Funktionsanalyse: ⇒ Ableitungen: im Normalfall drei Stück ⇒ Symmetrie: Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse?!? ⇒ Asymptoten: senkrechte?? oder waagerechte bzw. schiefe? ⇒ Nullstellen: f(x) = 0 ⇒ man erhält x1, x2, … ⇒ N1(x1|0), N2(x2|0),.. ⇒ Extrempunkte: f'(x) = 0 ⇒ x1, x2, … f'(x)=0 setzen Die erhaltenen x-Werte, setzt man zum einen in f''(x) ein. [Falls das Ergebnis positiv ist, gibt's einen Tiefpunkt, falls es negativ ist, hat man einen Hochpunkt. ] Zum anderen setzt man die x-Werte nochmal in f(x) ein, um die y-Werte zu erhalten. Kurvendiskussion Merkblätter. f''(x)=0 setzen Die x-Werte, die man erhält, setzt man zum in f'''(x) ein. [Falls nicht Null rauskommt, ist es sicher ein Wendepunkt. ] Die x-Werte setzt man nochmal ein. Und zwar in f(x), um die y-Werte zu erhalten. Falls bei der Überpru? fung der Extrem- oder Wendepunkte Null rauskommt, weiß man nicht ob hier Extrem- ein Wendepunkte vorliegen. Oft ist es ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Unten finden Sie ausführliche Beispielaufgaben zur Kurvendiskussion. Alle Teilaufgaben der Funktionsanalyse werden einzeln erklärt: Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bis zum Schaubild der Funktion. Außerdem finden Sie ausführliche, von unserem Gastdozenten Dr. Albus verständlich erklärte Übungsaufgaben-Videos hier. Der Sinn der Funktionsanalyse ist es, die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion zu errechnen. Zu diesen gehören: Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und asymptotisches Verhalten. Zur Kurvendiskussion gehört: ⇒ Bildung von drei Ableitungen [braucht man für Extrempunkte und Wendepunkte]. ⇒ Untersuchung der Funktion auf Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie. ⇒ Untersuchung der Funktion auf asymptotisches Verhalten. [Wohin geht die Funktion, wenn x gegen +∞ oder -∞ läuft? Kurvendiskussion | MatheGuru. ] ⇒ Bestimmung der Nullstellen der Funktion [also Schnittpunkte mit der x-Achse]. Hierfür setzt man die Funktion gleich Null und löst nach "x" auf. [Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ist auch ganz nett, jedoch nicht so wichtig].
Wird mehr als ein Hoch- oder Tiefpunkt gefunden, wird eine Zahl in den Index geschrieben, um einzelne Punkte voneinender unterscheiden zu können: H 1, H 2, H 3,... 4. Wendestellen, Wendepunkte Zum Hauptartikel Wendestellen, Wendepunkte Wendestellen geben Trendwenden an. In einem Wendepunkt beginnt eine Funktion zu steigen, die vorher monoton fallend war und eine Funktion die vorher monoton steigend war, zu fallen. 5. Sattelstellen, Sattelpunkte Im Gegensatz zu einem Wendepunkt, ändert sich bei einem Sattelpunkt das Vorzeichen der ersten Ableitung nicht. Das hat zur Folge, dass eine Funktion, welche die ganze Zeit gestiegen ist, auch nach dem Sattelpunkt weiter steigt. Dasselbe gilt natürlich auch für Funktionen die fallen. 5. Verhalten im Unendlichen Zum Hauptartikel Grenzwert Beim Verhalten im Unendlichen wird untersucht, wie sich die Funktion verhält, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Kurvendiskussion merkblatt pdf 1. Dazu wird der Grenzwert benutzt. Die Funktion kann sich dabei einem bestimmten Wert annähern – man sagt auch, die Funktion konvergiert zu diesem Wert hin – bzw. entweder immer größer oder kleiner werden.