Prüfe ob die Funktion im Intervall beschränkt ist und ob das gegebene Intervall abgeschlossen ist, indem du z. B. schaust ob es zu beiden Seiten eckige Klammern besitzt. Zum Vergleich: Bei beidseitig runden Klammern spricht man von einem offenen Intervall, bei einseitig runden Klammern von einem halboffenen Intervall bzw. Zeige/Begründe die Stetigkeit von auf dem gegebenen Intervall. Schlussfolgerung mit Satz von Weierstraß: Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt dort Maximum und Minimum an.
Als Nächstes zeigen wir mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß, dass eine auf einem kompakten Intervall definierte stetige Funktion Extremwerte annimmt. Damit beweisen wir insbesondere auch die obige Vermutung, dass eine stetige Funktion auf [ 0, 1] einen beschränkten Wertebereich hat. Satz (Extremwertsatz von Weierstraß, Annahme von Maximum und Minimum) Sei f: [ a, b] → ℝ stetig. Dann gibt es p, q ∈ [ a, b] mit (a) f (p) ist das Maximum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (x) ≤ f (p) für alle x ∈ [ a, b], (b) f (q) ist das Minimum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (q) ≤ f (x) für alle x ∈ [ a, b]. Beweis Wir finden ein p wie in (a). Die Minimumsbehauptung wird analog gezeigt. Sei Y = { f (x) | x ∈ [ a, b]} der Wertebereich von f. Dann gibt es (Beweis als Übung) eine monoton steigende Folge (y n) n ∈ ℕ in Y mit: (+) Für alle y ∈ Y existiert ein n mit y ≤ y n. Wir definieren eine Folge (x n) n ∈ ℕ in [ a, b] durch x n = "ein x ∈ [ a, b] mit f (x) = y n " für alle n. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert eine gegen ein p ∈ [ a, b] konvergente Teilfolge (x i n) n ∈ ℕ von (x n) n ∈ ℕ.
Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis. Formulierungen des Satzes von Bolzano-Weierstraß Für den Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es folgende Formulierungen, die alle äquivalent zueinander sind: Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge. Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) hat (mindestens) einen Häufungspunkt. Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen größten und einen kleinsten Häufungspunkt. Beweisskizze Der Beweis der allgemeinen Aussagen wird auf die eindimensionale reelle Aussage zurückgeführt. Diese kann man beweisen, indem man gleichzeitig eine Intervallschachtelung und eine Teilfolge konstruiert, so dass für jedes gilt. Diese zwei Folgen werden rekursiv konstruiert. Als Startpunkt dient das Intervall, wobei L eine Schranke der Folge ist, d. h. alle Folgeglieder sind im Intervall enthalten. Weiter kann als erstes Glied der zu bestimmenden Teilfolge gesetzt werden.
Der weierstraßsche Divisionssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Der Satz erlaubt eine Division mit Rest bezüglich eines Weierstraß-Polynoms. Einführung und Formulierung des Satzes [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es bezeichne den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0. Jedes kann mittels der Festlegung als Element von aufgefasst werden. Insbesondere ist der Polynomring in enthalten. Daher kann man vom Polynomgrad sprechen. Das gilt insbesondere für Weierstraß-Polynome, das heißt Polynome der Form mit konvergenten Potenzreihen, die in verschwinden. Mit diesen Begriffen gilt der folgende sogenannte weierstraßsche Divisionssatz [1] Es sei ein Weierstraß-Polynom vom Grad. Dann hat jedes eine eindeutige Darstellung als mit,,. Ist, so ist auch. Beweisidee [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Potenzreihen und konvergieren beide auf einem geeigneten Polykreis. Da ein Weierstraß-Polynom ist, kann man finden, so dass für alle und. Auf definiert man dann die Funktionen, von denen man dann zeigen kann, dass sie die behauptete eindeutige Darstellung liefern.