\(f'(x)=3x^2-12x+9\) Die Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion liegen dort, wo die Steigung der Funktion null ist. Wir können also nun die erste Ableitung der Funktion null setzen: \(f'(x)=3x^2-12x+9=0\) \(3x^2-12x+9=0\) Eine quadratische Gleichung kann bis zu zwei Lösungen besitzen. Das wird hier der Fall sein, denn unsere Funktion hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. \(x_1=1\) \(x_2=3\) Wir sehen an dem Grapen der Funktion, das an der Stelle \(x_1=1\) ein Hochpunkt liegt und an der Stelle \(x_2=3\) ein Tiefpunkt. Mathemathik: Hoch - und Tiefpunkte (hinreichende Bedingung) - Studium & Schule - Shia-Forum. Normalerweise muss man bei der Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten die notwendige und hinreichende Bedingung untersuchen. Wir haben bis jetzt nur gezeigt, das die Notwendige Bedingung erfüllt ist. Im Graphen sehen wir aber eindeutig wo der Hochpunkt und wo der Tiefpunkt liegt. Hier muss man die hinreichende Bedingung nicht zwangsläufig durchführen. Trotzallem ist es ratsam die hinreichende Bedingung zu überprüfen, dazu brauchen wir die zweite Ableitung der Funktion: \(f''(x)=6x-12\) Nun werden wir \(x_1\) und \(x_2\) in die zweite Ableitung einsetzen.
Geht der Vorzeichenwechsel von - nach +, so handelt es sich um eine Minimumstelle, bei einem Wechsel von + nach - um eine Maximumstelle. Der zweite Teil der ersten hinreichenden Bedingung (Vorzeichenweckel) ist also nur notwendig, um die Extremstellen von den Sattelstellen zu unterscheiden. 3. Zweite hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen Durch die erste hinreichende Bedingung haben wir bereits ein Werkzeug, das uns das Auffinden von Extremstellen vereinfacht. In diesem Abschnitt werden wir noch eine weitere Möglichkeit kennenlernen, diese rechnerisch zu bestimmen. Dazu betrachten wir die gleichen Beispiele wie im letzten Abschnitt, nur beziehen wir in unsere Betrachtung noch die zweite Ableitung mit ein. Zunächst untersuchen wir wieder die nach oben geöffnete Parabel: Figure 4. Eine Funktion mit einem lokalen Minimum (blau) mit erster (grün) und zweiter Ableitung (orange) Da der Graph von \$f\$ im Bereich seines Minimums eine Linkskurve beschreibt, ist \$f''\$ in diesem Bereich positiv.
Wenn ein notwendiges und hinreichendes Kriterium erfüllt ist, tritt das daraus folgende Ereignis immer ein und sonst nie. Wenn z. B. das Datum der 24. Dezember ist, dann ist Heiligabend, wenn nicht, dann nicht. Formal schreibt sich dies: "wenn A, dann und nur dann B " bzw. " \(A \Leftrightarrow B\) ". Das klassische Beispiel bei der Kurvendiskussion ist die Untersuchung von Extremstellen. Damit x 0 eine Extremstelle ist, muss notwendigerweise die erste Ableitung dort null sein. Hinreichend für das Vorliegen einer Extremstelle ist eine von null veschiedene zweite Ableitung. Notwendig und hinreichend ist es, wenn die untersuchte Funktion stetig differenzierbar ist und bei x 0 die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.