Daher für jede komplexe Zahl z, Dies ist nur dann wirklich gültig, wenn z nicht Null ist, kann jedoch für z = 0 als gültig angesehen werden, wenn Arg (0) als unbestimmte Form betrachtet wird - anstatt als undefiniert. Einige weitere Identitäten folgen. Wenn z 1 und z 2 zwei komplexe Zahlen ungleich Null sind, dann Wenn z ≠ 0 und n eine ganze Zahl ist, dann [2] Von Daraus folgt leicht. Dies ist nützlich, wenn der komplexe Logarithmus verfügbar ist. ^ a b c "Umfassende Liste der Algebra-Symbole". Math Vault. 2020-03-25. Abgerufen am 31. 08. 2020. ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Komplexes Argument".. 2020. ^ "Reine Mathematik".. 2020. ^ Wörterbuch der Mathematik (2002). Phase. Ahlfors, Lars (1979). Komplexe Analyse: Eine Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen (3. Aufl. ). New York, London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1. Ponnuswamy, S. (2005). Grundlagen der Komplexanalyse (2. Wurzeln komplexer Zahlen | Maths2Mind. Neu-Delhi, Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4. Beardon, Alan (1979). Komplexe Analyse: Das Argumentprinzip in Analyse und Topologie.
Deshalb verwendet man dort ersatzweise den Buchstaben j für die imaginäre Einheit. ↑ Der Buchstabe i wird in Formeln teilweise auch kursiv geschrieben. Nach DIN 1302 ist es gerade (normal, aufrecht, nicht kursiv) zu schreiben, weil es eine Zahl darstellt und keine Variable. Potenzen komplexer Zahlen | Maths2Mind. Deshalb verwendet dieses Buch grundsätzlich die nichtkursive Schreibweise; lediglich im fortlaufenden Text wird zwecks Hervorhebung i geschrieben. ↑ Beide Schreibweisen sind möglich, die jeweils erste ist gebräuchlicher. Regeln der reellen Zahlen [ Bearbeiten] ist ein Körper im Sinne der Algebra, weil alle Bedingungen erfüllt sind: Addition und Subtraktion Es gibt 0 als neutrales Element, d. h. für alle gilt: Zu jedem gibt es ein inverses Element mit der Eigenschaft – nämlich.
Beachten Sie, dass die Notation variiert, sodass arg und Arg in verschiedenen Texten vertauscht werden können. Die Menge aller möglichen Werte des Arguments kann in Form von Arg wie folgt geschrieben werden: gleichfalls Wenn eine komplexe Zahl hinsichtlich ihres Real- und Imaginärteils bekannt ist, wird die Funktion, die den Hauptwert Arg berechnet, als Arktangensfunktion mit zwei Argumenten atan2 bezeichnet:. Die atan2-Funktion (auch arctan2 oder andere Synonyme genannt) ist in den Mathematikbibliotheken vieler Programmiersprachen verfügbar und gibt normalerweise einen Wert im Bereich (−π, π] zurück. [2] Viele Texte sagen, dass der Wert durch Arctan ( y / x) gegeben ist, da y / x Steigung ist und Arctan Steigung in Winkel umwandelt. Quotient komplexe zahlen test. Dies ist nur dann richtig, wenn x > 0 ist, so dass der Quotient definiert ist und der Winkel zwischen - π / 2 und π / 2 liegt, aber die Ausweitung dieser Definition auf Fälle, in denen x nicht positiv ist, ist relativ involviert. Insbesondere kann man den Hauptwert des Arguments getrennt auf den beiden Halbebenen x > 0 und x <0 (getrennt in zwei Quadranten, wenn man einen Verzweigungsschnitt auf der negativen x- Achse wünscht) definieren, y > 0, y < 0 und dann zusammen patchen.
Definiere auf die Addition und Multiplikation wie folgt vertreterweise: Insbesondere sind die so definierten Operationen wohldefiniert, also die beiden Seiten von der Wahl der Vertreter unabhängig. Der Ring ist nicht der Nullring, enthält also ein Element. Das neutrale Element bezüglich der Addition (das Nullelement) ist, das neutrale Element bezüglich der Multiplikation (das Einselement) ist. Diese Äquivalenzklassen sind für alle gleich. Im Falle des Integritätsrings wird meist gewählt. Für ist das Inverse bezüglich der Addition durch gegeben, und falls ist, ist invertierbar bezüglich der Multiplikation, wobei das Inverse durch gegeben ist. Damit ist ein Körper, insbesondere ist für einen Integritätsring, ein injektiver Ringhomomorphismus, welcher die gewünschte Einbettung vermittelt. Es gilt. Für die Wohldefiniertheit der Struktur von ist die Kürzungsregel in nullteilerfreien Ringen entscheidend, d. Quotient komplexe zahlen in deutsch. h., dass für aus stets folgt. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Quotientenkörper des Integritätsrings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen.
\({z^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {{e^{i\varphi}}} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {e^{in\varphi}} = {\left| z \right|^n} \cdot \left[ {\cos \left( {n\varphi} \right) + i\sin \left( {n\varphi} \right)} \right]\) Potenzen komplexer Zahlen Um eine komplexe Zahl mit n zu potenzieren, bietet sich die Polarform an, da dabei lediglich der Betrag r zur n-ten Potenz zu nehmen ist und das Argument \(\varphi\) mit n zu multiplizieren ist. \(\eqalign{ & {z^n} = {\left( {r \cdot {e^{i\varphi}}} \right)^n} = {r^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \varphi}} \cr & {z^n} = {r^n}(\cos \left( {n\varphi} \right) + i\sin \left( {n\varphi} \right)) \cr} \) Wurzeln komplexer Zahlen Für das Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist es zweckmäßig auf eine Polarform (trigonometrische Form oder Exponentialform) umzurechnen, da dabei lediglich die Wurzel aus dem Betrag r gezogen werden muss und das Argument durch n zu dividieren ist.
Algebraisch wie jede reale Größe so dass für ein positives reales r (siehe Eulers Formel). Die Größe r ist der Modul (oder Absolutwert) von z, bezeichnet mit | z |: [1] Der Name Betrag, für den Modul und die Phase, [4] [2] für das Argument, werden manchmal in äquivalente Weise verwendet werden. Unter beiden Definitionen ist ersichtlich, dass das Argument einer komplexen Zahl ungleich Null viele mögliche Werte hat: Erstens ist als geometrischer Winkel klar, dass ganze Kreisdrehungen den Punkt nicht ändern, sodass sich die Winkel um ein ganzzahliges Vielfaches unterscheiden von 2π Radiant (ein vollständiger Kreis) sind die gleichen, wie in Abbildung 2 rechts dargestellt. In ähnlicher Weise hat aus der Periodizität von sin und cos auch die zweite Definition diese Eigenschaft. Das Argument Null bleibt normalerweise undefiniert. Figure 3. Der Hauptwert Arg des blauen Punkts bei 1 + i ist π / 4. Die rote Linie hier ist der Astschnitt und entspricht den beiden roten Linien in Abbildung 4 (vertikal übereinander gesehen).