Achso OK. Ist dann bei b) und c) das Richtig? b) X 1 2 3 P(X=x) 0, 5 0, 5*0, 5 0, 5*0, 5*1 c) X 1 2 3 4 P(X=x) 0, 5 0, 5*0, 5 0, 5*0, 5*0, 5 0, 5*0, 5*0, 5*1 Bleiben wir zunächst bei b): Das ist so nicht richtig. Die Aufgabe: b) Eine Laplace-Münze wird so lange geworfen, bis eine der beiden Seiten zum zweiten Mal erscheint. (1) Gib den Ergebnisraum Ω des Zufallsexperiments an. Ω = { NN 2, ZZ 2, NZN 3, NZZ 3, ZNN 3, ZNZ 3} Z bedeutet hier wieder "Zahl", N "nicht Zahl", die Hochzahl gibt jetzt an, wie oft geworfen wird, also den jeweiligen Wert der Zufallsgröße X. Die Ergebnisse werden mit den Wahrscheinlichkeiten 1/4 bzw. 1/8 erzielt. (2) Welche Werte kann die Zufallsgröße X annehmen? { 2, 3} (3) Erstelle eine Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. (... Welche Werte kann die Gleichung 4x-4y annehmen? (Mathe, Mathematik). ) (4) Zeichne ein Histogramm. ) 1 0, 5 (Das geht nicht, da X nicht 1 werden kann! Diese Zeile weglassen. ) 2 2*0, 125 (Hier muss es 2*0. 25 heißen! ) 3 4*0, 125 (Das ist richtig! ) Insgesamt habe wir also: P(X=2) = 2 * 1/4 = 1/2 P(X=3) = 4 * 1/8 = 1/2 Das ergibt in der Summe 1 und das muss es auch.
Wenn man dann 6*6 rechnet gibt es also 36 mögliche Ergebnisse Zufallsvariable: Eine Zufallsvariable ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. (das ist schwer zu erklären google das einfach mal) Erwartungswert einer Zufallsgröße: der Erwartungswert ist quasi der Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments. LG Luise
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Dichte) ist. Einschränkung Die Dichtefunktion ist nur für stetige Zufallsvariablen definiert. Einsatzzweck Definition Die Dichtefunktion hat vor allem die Aufgabe, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu vermitteln: Wie der Name bereits andeutet, zeigt diese Funktion, in welchen Teilen sich die Werte der Zufallsvariable am dichtesten scharen. Die Dichtefunktion zeigt, dass sich in der Umgebung von $0$ die Werte am dichtesten scharen. Die Dichtefunktion zeigt, dass sich in der Umgebung von $1{, }5$ die Werte am dichtesten scharen. Eigenschaften der Dichtefunktion In Worten: Die Dichtefunktion kann nur positive Werte annehmen. Welche werte kann x annehmen. In Worten: Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt $1$. Anmerkung Bei Dichtefunktionen können durchaus Werte größer als $1$ auftreten. In der Abbildung sehen wir eine Dichtefunktion, die Funktionswerte größer als $1$ annimmt. Wahrscheinlichkeiten berechnen Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet man bei stetigen Zufallsvariablen immer die entsprechende Verteilungsfunktion.
Sie ergibt sich aus der Integration der Dichtefunktion: $$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$ Beispiel 1 $$ P(X \le 3) = \int_{-\infty}^{3} \! f(u) \, \textrm{d}u $$ Beispiel 2 $$ P(2 < X \le 3) = \int_{2}^{3} \! Welche werte kann x annehmen movie. f(u) \, \textrm{d}u $$ Beispiel 3 $$ P(X > 4) = \int_{4}^{\infty} \! f(u) \, \textrm{d}u $$ Aus $$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$ lässt sich eine wichtige Eigenschaft ableiten: In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt, ist stets Null. Grund dafür ist, dass die Fläche über einem Punkt $x$ gleich Null ist: $$ P(X = x) = \int_{x}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u = F(x) - F(x) = 0 $$ Wahrscheinlichkeitsfunktion Bei diskreten Zufallsvariablen haben wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion kennengelernt, welche jedem $x$ der Zufallsvariable $X$ seine Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ zuordnet. Für stetige Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht definiert, da die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ eintritt, hier stets $P(X = x) = 0$ ist.
Du erhältst ihre Varianz dann als Integral über das Produkt zwischen quadrierter Differenz und der Dichtefunktion: Wenn X und Y Zufallsvariablen und a und b Konstante sind, hast Du als Rechenregeln für die Varianz gegeben: Für den Fall von a=b=1 ergibt sich der Spezialfall: Für den Fall, dass X und Y stochastisch unabhängig sind, gilt sogar Es gilt zudem der Verschiebungssatz, nach dem Du die Varianz als Funktion von Erwartungswerten schreiben kannst: Von der Varianz Deiner Zufallsvariablen musst Du die Stichprobenvarianz unterscheiden. Im Gegensatz zur theoretischen Varianz wird sie in vielen statistischen Untersuchungen aus dem Datenmaterial berechnet und als Schätzung für verwendet.
01. 2016, 19:34 Jaaa genau Das heißt also, wenn eine Funktion steigend ist, ist der Wertebereich unendlich? oder wie kann ich das verstehen? Und vielleicht nocht ein anderes Beispiel: Nun habe ich diese Funktion hier. Wo wäre hier der Wertebereich? Will nicht nerven oder so, aber will das nur verstehen. Das mit den trigonometrischen Funktonen habe ich nun verstanden. Aber das mit den rationalen Funktionen noch nicht. P. S. Die Funktion ist die Ableitung also: f'(X) 01. Welche werte kann x annehmen 2. 2016, 22:36 Dopap ein Polynom mit vollem Definitionsbereich geht immer ins unendliche. Hier gehen beide "Äste" nach plus unendlich. Dafür ist x hoch 4 verantwortlich. Die Wertemenge ist links nicht ganz einfach, da das absolute Minimum zu bestimmen ist. Und das ist mit dem rechten Tiefpunkt identisch. ungefähr bei x= 2. 776 und dem Wert -8. 4802 02. 2016, 21:16 Danke habe es nun verstanden. Und ist gar nicht schwer.