Anwendung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei einer rein elastischen Verformung werden die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt durch: mit: maximale Normalspannung: Biegemoment um die Bezugsachse: axiales Flächenträgheitsmoment. Fragen zu den Herleitungen der Trägheitsmomente. : maximaler senkrechter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser und durch: mit: maximale Tangentialspannung ( Schubspannung): Torsionsmoment um die Bezugsachse: polares Flächenträgheitsmoment. : maximaler senkrechter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser Die so ermittelten maximal auftretenden Spannungen werden mit den vom Werkstoff erträglichen Spannungen ( Festigkeit) verglichen, um zu überprüfen, ob der Balken versagt. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können zwar die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch wenig praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte anderen Gesetzen unterliegt.
7. 2. 2 Trägheitsmoment einfacher starrer Körper (i) Trägheitsmoment eines dünnen Stabes Ein sehr dünner Stab der Länge habe die Masse, die homogen über den Stab verteilt sei. Folglich liegt der Schwerpunkt in der Mitte des Stabes und die Massendichte ist konstant. Die Drehache ist senkrecht zum Stab gewählt. Abbildung 7. 3: Dünner Stab Das entsprechende Trägheitsmoment ist dann Nach dem Steiner'schen Satz ergibt sich das Trägheitsmoment bezogen auf eine parallele Achse durch den Endpunkt des Stabes zu (ii) Trägheitsmoment einer kreisförmigen Scheibe Eine dünne, kreisförmige Scheibe mit Radius und homogener Masse drehe sich um eine Achse durch den Schwerpunkt senkrecht zur Scheibenfläche. Abbildung 7. 4: Kreisscheibe Mit ist wobei das Volumen der Kreisfläche entspricht. Bei der Transformation von kartesischen Koordinaten in ebene Polarkoordinaten, gilt für das Volumenelement (siehe 'Funktionaldeterminante' im Skript zur Differential- und Integralrechnung) und somit bzw. (iii) Trägheitsmoment eines Zylinders Abbildung 7.
Daher lautet die Formel für das Massenträgheitsmoment des Hohlzylinders um die x- bzw. z-Achse: $$J_x=J_z=\frac{m}{12}·\left[3·(R^2+r^2)+l^2\right]$$ Seite erstellt am 11. 06. 2019. Zuletzt geändert am 14. 11. 2021.