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Die Legendre-Transformation (nach Adrien-Marie Legendre) gehört zu den Berührungstransformationen und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur Variablentransformation. Eine Verallgemeinerung der Legendre-Transformation auf allgemeine Räume und nicht-konvexe Funktionen ist die Legendre-Fenchel-Transformation (auch Konvex-Konjugierte genannt). Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In einer Variablen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sei eine streng konvexe Funktion einer reellen Variablen. Die Legendre-Transformierte ist dann definiert als Dabei ist mit das Supremum gemeint. Für eine differenzierbare streng konvexe Funktion mit invertierbarer erster Ableitung lässt sich das Supremum mit Mitteln aus der elementaren Analysis auswerten. Die Funktion nimmt wegen der strengen Konkavität von an der (eindeutigen) Stelle, an der die Ableitung ist, ein absolutes Maximum an. Daraus folgt, dass an der Stelle das Supremum in angenommen wird. Die kraft der transformations. Somit gilt: In mehreren Variablen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ähnlich wie in einer Dimension kann die Legendre-Transformation auch in höheren Dimensionen definiert werden.
Dann ist die durch definierte quadratische Form mit eine konvexe Funktion. Die durch mit definierte Funktion hat den Gradienten und die negativ definite Hesse-Matrix. Die Funktion nimmt daher an der Stelle ihr eindeutig bestimmtes globales Maximum an, d. h. für die Legendre-Transformierte von gilt. Bei Abhängigkeit von mehreren Variablen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion von einer unabhängigen Variablen zu einer anderen mittels einer partiellen Ableitung von nach ist:. Hierbei stellt geometrisch die Steigung in x-Richtung der Tangentenebene an die Funktion dar. Masterclass verpasst - Moorjani Onlinecourse. Daher spricht man von Berührungstransformation. Die Funktion wird als Legendre-Transformierte bezüglich der Variablen bezeichnet. Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von kann alternativ als geschrieben werden. Definiert man nun, erhält man für die Legendre-Transformierte. Meistens wird gewählt, und somit folgt. Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte die -Komponente des Schnittpunkts der Tangentenebene an mit der Ebene.
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