Konvergenz im quadratischen Mittel
Wünsche nochmals einen guten Abend. Für n = 2, 3,... sei
Geben Sie eine Funktion f an, gegen die die Folge (f_n) im quadratischen Mittel konvergiert. Ich habe mich zunächst einmal mit der Begrifflichkeit vertraut gemacht. Wir haben "Konvergiert im quadr. Mittel" so definiert:
Eine Folge f_n konvergiert genau dann im quadratischen Mittel gegen, wenn
Nun habe ich einfach mal ein paar Werte für n in die Funktion oben eingesetzt um mir ein Bild machen zu können
n = 2, 4, 8
Irgendwie komme ich jetzt nicht auf die Lösung. Mir ist klar, dass 0 und 1 bei der Funktion f eine große Rolle spielen. Auf welchem Intervall durchschaue ich jetzt aber nicht. Aber dann weiß ich nicht, wie ich mit n(x-(0, 5 - 1/n)) umgehe. Wie muss ich die Fragezeichen ausfüllen? Grüße Flaky
30. 12. 2007, 21:37
system-agent
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das intervall "in der mitte" wird immer kleiner je grösser dein wird und weil ein integral die veränderung eines funktionswertes an einer stelle nicht spürt würde ich mal
versuchen...
ist aber lediglich eine erste idee...
Reelle Fourierreihe - Konvergenz im quadratischen Mittel
Es gilt erfreulicherweise folgender Satz:
Theorem Die Fourierreihe jeder
2
τ
-periodischen, über das Intervall
[
-
τ,
+
τ]
integrierbaren Funktion
f
von
ℝ
nach
konvergiert im quadratischen Mittel gegen
f.
Der am Beweis interessierte Leser sei auf eine Extraseite - wo
allerdings nur ein etwas schwächeres Resultat, die so genannte Bessel´sche
Ungleichung, bewiesen wird - und auf die Literaturseite verwiesen. Bilden wir also gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) die
Fourierkoeffizienten
a
0,
1,
2,
3,
…,
b
…
und dann für jedes
N
∈
ℕ
gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) die Funktion
N, so geht die Größe (Reelle Fourierreihe - Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen), anschaulich
die "mittlere quadratische Abweichung" zwischen
und
f, für unendlich werdendes
gegen 0. Dies läst sich durch ein Resultat ergänzen, das deshalb interessant ist,
weil es etwas über die Approximation von
durch
bei endlichem
aussagt.