1. 7. 7 Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar | mathelike Alles für Dein erfolgreiches Mathe Abi Bayern Alles für Dein erfolgreiches Mathe Abi Bayern Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar Betrachtet wird die Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) einer Funktionenschar \(f_{k}\). Gibt es gemeinsame Punkte, durch die alle Graphen der Kurvenschar verlaufen? Wollte man beispielsweise die gemeinsamen Punkte der Graphen \(G_{f_{1}}\) der Scharfunktion \(f_{1}\) für \(k = 1\) und \(G_{f_{2}}\) der Scharfunktion \(f_{2}\) für \(k = 2\) berechnen, würde man die Lösungen der Gleichung \(f_{1}(x) = f_{2}(x)\) ermitteln. Um die gemeinsamen Punkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der Funktionenschar \(f_{k}\) zu bestimmen, ersetzt man den Parameter \(k\) zunächst einmal durch einen Parameter \(m\) und einmal durch einen Parameter \(n\). Anschließend erfolgt die Bestimmung der Schnittstellen von \(f_{m}\) und \(f_{n}\) für den Fall \(m \neq n\). Es ergibt sich folgender Ansatz: \[f_{m}(x) = f_{n}(x) \quad (m \neq n)\] Schließlich werden noch die \(y\)-Koordinaten der gemeinsamen Punkte errechnet und die Punkte angegeben.
Wendepunkte: W 1 (0|0) (Sattelpunkt) b) Haben die Graphen G t außer (0|0) weiter gemeinsame Punkte? Für gemeinsame Punkte gilt: Dies ist für nur für x = 0 erfüllt; es gibt also keine weiteren gemeinsamen Punkte. Übungen: 1. Durch ist eine Funktionenschar gegeben. Die zugehörigen Graphen seien G a. a) Zeigen Sie, dass alle Graphen G a zwei Punkte gemeinsam haben. b) An welcher Stelle x 0 haben alle Graphen G a die gleiche Steigung? Wie groß ist diese? 2. Durch a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von G a mit den Koordinatenachsen, Hoch- Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie G 2 für. b) Die Normale von G a im von O(0|0) verschiedenen Wendepunkt W schneidet die x -Achse in P. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks OPW. Für welches a beträgt A 13 Flächeneinheiten?
Ein kürzerer Weg geht so: Ich kann die Funktion fa(x) auch so umformen: fa(x) = a (1/5 x² - 6/5 x +1) + x Für zwei unterschiedliche Parameter a kann da nur dasselbe herauskommen, wenn der Inhalt der Klammer gleich Null ist. Wäre der nämlich nicht gleich Null, dann kommt z. B. für a1=1 und a2 =0 1 * (irgendwas ungleich Null) + x = 0 * (irgendwas ungleich 0) + x und das geht natürlich nicht. Damit suche ich die Nullstellen von 1/5 x² - 6/5 x +1 oder die Lösungen der Gleichung 1/5 x² - 6/5 x +1 = 0. Der Rest ist natürlich gleich. Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl. -Math. :-)