Mit Hilfe der binomischen Formeln berechnen: (7a + 3)^2, (4x - 6y)^2 Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln
Vorschau auf das Übungsblatt 1. Wende die binomischen Formeln an. a) ( x - 4) 2 b) ( x + 7)( x - 7) c) ( a + 11) 2 d) ( x +) 2 e) ( a - b) f) ( ab - x)( x + ab) g) (2 x - 13) 2 h) (4 a + 9 b) 2 i) ( - 6 x - 8) 2 j) ( - 3 x + 4)( - 3 x - 4) 2. Berechne. Wende soweit möglich die binomischen Formeln an. a) (5 x - 3 y) 2 - (3 x + y) 2 b) (10 a + 4 b)(10 a - 4 b) - (2 a - 5 b) 2 c) ( a - 0, 2 b) 2 - 3(0, 3 b - 0, 5 a) 2 + ( a + 0, 4 b) 3. Löse die Gleichungen. Verwende wo möglich die binomischen Formeln. a) ( x - 4) 2 + ( x + 2) 2 = 2( x 2 - 5) - 2 x b) ( x + 3) 2 + 5 ⋅ 3 = ( x - 2)( x + 4) c) ( x + 6) 2 + 2 ⋅ 2, 5 x - x = ( x - 1) 2 - ( x + 7) 2 + 2 ⋅ 0, 5 x 2 4. Folgende Gleichungen enthalten Binome. Ersetze die Platzhalter so, dass sich vollständige Gleichungen ergeben. a) 4 x 2 +20 xy + = ( +) 2 b) (5 x -) 2 = - + y 2 c) ( x 2 -)( x 2 +) = - 4 a 2 c 4 5. Faktorisiere, aber nur wo es möglich ist. a) 144 x 2 - 100 b) 4 a 2 + 6 ab + 2, 25 b 2 c) x 2 - 16 x + 16 d) 4 - 8 x + 4 x 2 6. Ergänze die Platzhalter mit Hilfe der binomischen Formeln.
Grafische Herleitung und Beweis der dritten binomischen Formel In der linken Abbildung entspricht das blaue Vieleck dem Flächeninhalt $A_{Vieleck} = a^2 - b^2$. Dasselbe Vieleck lässt sich an der Diagonalen auseinander schneiden und ergibt neu zusammengesetzt ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $A_{Rechteck}= (a+b) \cdot (a-b)$, das du in der rechten Abbildung siehst. Da der Flächeninhalt durch die Transformation nicht geändert wurde, kann man die unterschiedlichen Ausdrücke gleichsetzen: $A_{Vieleck} = A_{Rechteck}$ $a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$ Wir erhalten auch hier die dritte binomische Formel. Anwendung der dritten binomischen Formel Die dritte binomische Formel kann genutzt werden, um Produkte der folgenden Art zu vereinfachen und gegebenenfalls ohne Taschenrechner auszurechnen: $105 \cdot 95 = (100 + 5) \cdot (100 - 5) = 100^2 - 5^2 = 10000 - 25 = 9975$ Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!