Wichtige Inhalte in diesem Video Dieser Artikel befasst sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und veranschaulicht diesen anhand eines einfachen Beispiels! Total einfach kannst du dir das Leben machen, indem du dir alles kurzerhand in unserem Video zum Thema erklären lässt! Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit im Video zur Stelle im Video springen (00:09) Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A berechnen, wenn man nur die bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeit abhängig von einem zweiten Ereignis B gegeben hat. Manchmal ist auch vom so genannten Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die Rede. direkt ins Video springen Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Formel Es geht also darum, die gesamte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu berechnen. Mathematisch wird das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit meistens so aufgeschrieben: Beziehung zum Satz von Bayes Außerdem begegnet in der Stochastik einem in der Verbindung mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit oft der so genannte Satz von Bayes.
Du wirst sehen: Je öfter du mit dieser Liste arbeitest, desto besser verinnerlichst du die Schritte und im Nu brauchst du die Liste nicht mehr! Zusammenfassung Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her. Er leitet sich von der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ab und die Summe der Anfangswahrscheinlichkeiten ergibt immer 1. Unsere Empfehlung Manche Matheaufgaben können einen richtig erschlagen. Deshalb ist es wichtig, dass du dich nicht von komplizierten Umschreibungen oder neuen Sachverhalten in Panik versetzen lässt. Konzentriere dich stattdessen besonders auf die Fragestellung und suche dir strukturiert die nötigen Informationen aus dem Text zusammen. Wer weiß, welche Zahlen für das Ergebnis notwendig ist, kann gezielter Textaufgaben analysieren und bearbeiten! Insider Tipp: Weißt du was Lehrer lieben? Lehrer lieben Schüler, die am Ende ihrer Rechnung gut formulierte Antwortsätze erstellen.
Man entscheidet sich dann für den Würfel, bei dem diese sogenannte Rückschlusswahrscheinlichkeit am größten ist. Geschlossen wird also aus einem stattgefundenen Ereignis auf die Wahrscheinlichkeit seiner "Gründe", seiner "Ursachen". Die Rückschlusswahrscheinlichkeit ist dabei eine spezielle bedingte Wahrscheinlichkeit. Die schrittweise Analyse der Zahlenfolge bedeutet, dass man mit jedem Würfelergebnis neue Informationen erhält, die zu einer neuen Bewertung der Chancen führen, um den tatsächlich benutzten Würfel herauszufinden. Mit dieser Problematik beschäftigte sich vor fast 250 Jahren der anglikanische Methodisten-Geistliche Reverend THOMAS BAYES (1702 bis 1761). Die dazu von ihm verfasste Abhandlung wurde allerdings erst nach seinem Tode im Jahr 1763 veröffentlicht. Bekannt wurde das auf den Rückschlusswahrscheinlichkeiten beruhende Entscheidungsprinzip nach der Neuformulierung durch den französischen Mathematiker PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1829). Satz von BAYES: Bilden die Ereignisse B 1, B 2,..., B n eine Zerlegung von Ω und ist A ein beliebiges Ereignis mit A ⊆ Ω u n d P ( A) > 0, so gilt für jedes i ∈ { 1; 2;... ; n}: P A ( B i) = P ( B i) ⋅ P B i ( A) P ( B 1) ⋅ P B 1 ( A) +... + P ( B n) ⋅ P B n ( A) Beweis: Die Ereignisse B 1, B 2,..., B n sind eine Zerlegung von Ω genau dann, wenn es paarweise unvereinbare Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit und B 1 ∪ B 2 ∪... ∪ B n = Ω sind.
Der Satz von Bayes ist eine hilfreiche Regel, um bedingte Wahrscheinlichkeiten der Form \(\mathbb{P}(A|B)\) auszurechnen, wenn nur "andersherum" bedingte Wahrscheinlichkeiten der Form \(\mathbb{P}(B|A)\) gegeben sind. Klausuraufgaben Im eBook-Shop gibt es Klausuraufgaben zu diesem Thema! Zu den eBooks Herleitung des Satzes von Bayes Der Satz von Bayes erweitert die bekannte Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten: \[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \] Falls die im Zähler stehende gemeinsame Wahrscheinlichkeit nicht gegeben ist, kann man sie auch durch den Multiplikationssatz bestimmen: \[ \mathbb{P}(A \cap B) =\mathbb{P}(A | B) \cdot\mathbb{P}(B)\] Diese Regel ergibt sich durch das Umstellen der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Da in der Notation die Reihenfolge bei zwei gemeinsam eintretenden Ereignissen egal ist, d. h. \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \cap A)\), gilt der Multiplikationssatz auch mit umgekehrten Buchstaben: \[ \mathbb{P}(A \cap B) =\mathbb{P}(B | A) \cdot\mathbb{P}(A)\] Genau diese Formel wird nun im Zähler ersetzt, und man erhält den Satz von Bayes: \[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B | A) \cdot\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \] Falls \(\mathbb{P}(B)\) nicht gegeben ist In manchen Aufgaben ist die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(B)\) im Nenner nicht gegeben.
Die Formel von oben solltest du zum Beispiel zunächst nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit auflösen, bevor du die gegebenen Wahrscheinlichkeiten einsetzt! Antwort: Wenn du alle Schüler, die nicht gelernt haben, zusammenstellst und zufällig einen davon auswählst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass derjenige eine schlechte Note erhalten hat, 93, 9%. Wenn du nun von dem Experiment auf die allgemeine Situation schließen würdest, könnte man sagen, dass es sehr wahrscheinlich ist, eine schlechte Note zu erhalten, wenn man nicht gelernt hat. Tipp: Falls in deiner Aufgabe die Komplemente (auch Gegenwahrscheinlichkeiten) der Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, bloß nicht verzweifeln! Denn es gilt: und Herleitung des Satz von Bayes Wie du sehen kannst, ist der Satz von Bayes ein nützliches Instrument, um ohne Umwege umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Aber wie kommt man eigentlich auf diesen Satz? Ganz einfach! Er lässt sich aus der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten.
Dann sollte man zur Lösung den Satz von Bayes verwenden. Merke Hier klicken zum Ausklappen Satz von Bayes Bilden $B_1, B_2, \dots, B_n $ eine Zerlegung von $\Omega$ und ist $P(A) > 0$ dann gilt: $\large \bf P_A(B_i) = \frac{P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)}{\sum_{k=1}^n P(B_k) \cdot P_{B_k}(A)}$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Mit dem Satz von Bayes kann man jetzt z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Auto mit falschen Sitzen aus der Fabrik A stammt berechnen. $\large P_{\bar{S}}(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(\bar{S})}{P(A) \cdot P_A(\bar{S}) + P(B) \cdot P_B(\bar{S}) + P(C) \cdot P_C(\bar{S})}=\frac{15\% \cdot 5\%}{11, 25\%}=6, 67\%$ Für die beiden anderen Fabriken ergeben sich die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten. $\large P_{\bar{S}}(B)=\frac{40\% \cdot 15\%}{11, 25\%} = 53, 33\%$ $\large P_{\bar{S}}(C)=\frac{45\% \cdot 10\%}{11, 25\%} = 40\%$
Recht einsichtig wird das Ganze auch, wenn man die Situation etwas erweitert. Zur Vereinfachung der Beschreibung sei dabei angenommen, der Kandidat habe sich für Tor 1 entschieden und der Moderator habe Tor 2 geöffnet, d. h. der Kandidat kann sich zwischen Tor 1 und Tor 3 entscheiden. Ohne dass sich irgendetwas an der Wahrscheinlichkeit ändert, den Gewinn zu bekommen, kann man nun auch annehmen, dass der Moderator dem Kandidaten zusätzlich zu dem Gegenstand hinter Tor 3 auch noch die Ziege hinter Tor 2 schenkt. Ebenfalls ändert sich nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator Tor 2 nun wieder schließt. Und es ändert sich auch nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator die Nummern von den Toren 2 und 3 abnimmt, so dass der Kandidat nicht mehr weiß, welches Tor ursprünglich Nummer 2 und welches 3 war (er bekommt ja sowieso beide). Damit wäre das Problem reduziert auf die Aufgabe, entweder Tor 1 zu wählen oder aber die beiden anderen, wobei klar ist, dass hinter einem der anderen beiden Tore eine Ziege steht.
05. 2012 (0) Herunterladen (1. 05MB) Mass Deployment Tool User's Guide 19. 2022 (I) Herunterladen (2. 16MB) BRAdmin Professional 4 User's Guide 08. 2021 (C) Herunterladen (1. 33MB) Anhang Anmerkungen zur Open Source-Lizenzvergabe (Englisch) 21. 2020 (08) Herunterladen (0. 17MB) Regulatorische Dokumente Konformitätserklärung 08. 2021 (5) Herunterladen (0. 78MB) Verordnung (EU) Nr. 801/2013 der Kommission (Englisch) 02. 10. 2017 (A) Herunterladen (0. Mfc l2710dw bedienungsanleitung model. 01MB) Laden Sie zur Ansicht das Dokument im PDF-Format herunter. PDF-Dokumente erfordern die Installation der Adobe® Acrobat Reader DC® Software. Verfügen Sie noch nicht über die Adobe® Acrobat® Software, klicken Sie auf den Link "Adobe® Acrobat Reader DC®" und laden Sie die Software herunter. Relevante Links
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