Also Wurzel(2), Wurzel(3), Wurzel(5) etc sind irrational. Ein Beweis für die Irrationalität von Wurzel(2) steht hier: Angenommen Wurzel(2) wäre eine rationale Zahl. Dann könnte man sie als vollständig gekürzten Bruch schreiben: Wurzel(2) = m/n Quadrieren: 2=m²/n² mal n²: 2n² = m² Also muss m² gerade sein, also auch m, das heißt m = 2s, s natürliche Zahl. 2n² = (2s)² 2n² = 4s² n² = 2s² Also muss auch n² gerade sein, also auch n. So wenn m und n gerade sind, sind beide durch 2 teilbar: Also kann m/n nicht ein gekürzter Bruch sein, da man ja mit 2 kürzen kann. Wurzel 7 irrational number. Also kann Wurzel(2) keine rationale Zahl sein. Die Aussage in der Fragestellung ist falsch. Es gibt durchaus auch rationale Wurzeln und zwar sogar unendlich viele. Denn jede Zahl, die eine Quadratzahl ist ( also 1, 4, 9, 16, 25 usw. ) hat eine rationale Wurzel (nämlich 1, 2, 3, 4, 5 usw. ).
Ich habe eine Frage zur Lektion Irrationale Zahlen und zwar habe ich den gleichen Beweis probiert mit der Wurzel aus 4, da dies ja eine natürliche Zahl oder auch eine rationale Zahl ist. Allerdings ist ja dort auch der gleiche Widerspruch oder nicht? Aber es ist ja als Bruch darstellbar! 2/1! Wär nett, wenn das jemand erklären könnte- Julien
Der Beweis wird meist indirekt geführt, hier zum Beispiel für 2. Es gibt also einen Widerspruch zu der Annahme, dass a b nicht gekürzt werden kann! Die Annahme, dass 2 rational wäre, ist demnach falsch. Dann kann 2 nur irrational sein.
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