Kapitel 5 Geometrie Abschnitt 5. 3 Rund um Dreiecke Zu einem Dreieck gehören unter anderem drei Seitenlängen und drei Winkel. Die Außenwinkel sind durch die Innenwinkel bereits festgelegt, sodass durch diese sechs Größen die "Form" eines Dreiecks bestimmt ist. Wenn bei zwei Dreiecken alle diese Größen übereinstimmen, so sind diese Dreiecke deckungsgleich oder kongruent. Dabei spielt es keine Rolle, wo sich die Dreiecke befinden. Kongruente Dreiecke können also durch Drehung, Spiegelung und Verschiebung ineinander übergeführt werden. Kennt man vier von den sechs Größen, so ist das Dreieck eindeutig bestimmt bis auf Spielgelung oder Drehung, das heißt bis auf die Lage des Dreiecks im Raum. Alle Dreiecke, die man mit diesen Angaben erhält, sind dann kongruent. In einigen Fällen genügen sogar drei Angaben, um das Dreieck eindeutig zu bestimmen. Sie werden in den Kongruenzsätzen beschrieben: Kongruenzsätze für Dreiecke 5. 3. 13 Ein Dreieck ist bis auf seine Lage in der Ebene eindeutig bestimmt, wenn eine der folgenden Situationen vorliegt: Von den drei Winkeln und den drei Seitenlängen sind mindestens vier Angaben gegeben.
Kongruente Figuren sind Figuren, welche in Form und Größe übereinstimmen. Alle Strecken und Bildstrecken sowie Winkel und Bildwinkel der beiden Figuren sind also gleich groß. Seien die Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent. Abbildung 1: Kongruente Dreiecke Dann gilt: Alle Seiten haben dieselbe Länge: a = a', b = b', c = c' Alle Winkel sind gleich groß: α = α', β = β', γ = γ' Kongruente Figuren - Strecke und Bildstrecke Kongruente Figuren besitzen an all ihren Seiten die gleichen Seitenlängen. Für die beiden kongruenten Dreiecke gilt also: a = a' = 4 cm b = b' = 4 cm c = c' = 5, 7 cm Abbildung 2: Kongruente Dreiecke Kongruente Figuren - Winkel und Bildwinkel Sind zwei Figuren kongruent zueinander, stimmen auch ihre Winkel überein. In den beiden kongruenten Dreiecken ist dann: α = α' = 45° β = β' =45° γ = γ' = 90° Abbildung 3: Kongruente Dreiecke Kongruente Figuren mit gleichem Flächeninhalt In den zwei vorigen Abschnitten hast du gesehen, dass kongruente Figuren in ihren Angaben übereinstimmen.
Zwei Dreiecke heißen kongruent zueinander, wenn sie sich durch eine Bewegung ineinander überführen lassen. Natürlicherweise sind zwei Dreiecke kongruent, wenn sie in allen Seiten und allen Innenwinkeln übereinstimmen. Die Kongruenzsätze beschreiben die Voraussetzungen, unter dehnen zwei Dreiecke kongruent sind, falls nicht alle Bestimmungsstücke gegeben sind. Satz 5516A (Kongruenzsätze) Die folgenden Aussagen sind zueinander äquivalent: Zwei Dreiecke sind kongruent Zwei Dreiecke stimmen in allen drei Seiten überein (SSS) Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel überein (SWS) Zwei Dreiecke stimmen in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln überein (WSW) Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel überein (SsW) In Klammern sind die üblichen Abkürzungen für diese Kongruenzsätze angegeben. Die Übereinstimmung in allen drei Winkeln reicht für die Kongruenz nicht aus. Es lassen sich beliebig viele Dreiecke mit den gleichen Winkeln und verschiedenen Seitenlängen angeben.
Du bist nicht angemeldet! Hast du bereits ein Benutzerkonto? Dann logge dich ein, bevor du mit Üben beginnst. Login Allgemeine Hilfe zu diesem Level Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Praktisch betrachtet heißt das, man kann sie so übereinander legen, dass an keiner Stelle etwas überlappt. [Das Viereck ABCD ist ein achsensymmetrisches Trapez] weitere(s) Dreieck(e) kongruent. weitere(s) Dreieck(e) kongruent. Lernvideo Kongruenz von Dreiecken Die Kongruenz zweier Dreiecke erkennt man nicht immer sofort. Auf sein Augenmaß darf man sich außerdem auch nicht verlassen. Am sichersten lässt sich die Kongruenz zweier Dreiecke mit Hilfe der sog. Kongruenzsätze feststellen. Zwei Dreiecke sind demnach kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS). sie in einer Seite und zwei zu dieser Seite gleich liegenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW). sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS). sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen (SsW).
Startest du mit der Seite c, so gibt es nur zwei Dreiecke: Die Schnittpunkt der beiden Kreise sind oben oder unten. Die stimmen in allen drei Längen überein. Diese beiden Dreiecke sind kongruent zueinander, da sie nur gespiegelt wurden.
Einführungsaufgabe a) Skizze anfertigen In der Skizze kannst du das gleichschenklige Dreieck erkennen. Außerdem wurde die Höhe eingezeichnet. Abb. 1 gleichschenkliges Dreieck b) Dreieck aufteilen Du kannst das Dreieck an der Höhe in zwei Dreiecke aufteilen. c) Nachweis der Übereinstimmungen Erste Übereinstimmung Beide Dreiecke haben die Höhe als Seite. Somit haben sie eine gleich lange Seite. Zweite Übereinstimmung: Die Seiten und der beiden Dreiecke sind gleich lang, da die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks gleich lang sind. Dritte Übereinstimmung: Die Höhe steht immer senkrecht auf ihrer Seite. Der Winkel zwischen der Grundseite und der Höhe beträgt damit bei beiden Dreiecken. d) Folgerung der Kongruenz Nach dem Kongruenzsatz SsW sind zwei Dreiecke kongruent, wenn die Längen von zwei Seiten und das Maß des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüberliegt übereinstimmen. Dies ist hier gegeben und damit sind die beiden Dreiecke kongruent. e) Folgerung der Behauptung Da die beiden Dreiecke kongruent sind, stimmen auch die Winkel und überein.