Hier findet ihr kostenlose Übungen zur Integration durch Substitution. Ihr könnt euch die Arbeitsblätter downloaden und ausdrucken (nur für privaten Gebrauch oder Unterricht). Hier könnt ihr euch kostenlos das Arbeitsblatt zur Integration durch Substitution in zwei Varianten downloaden. Einmal als Faltblatt und einmal als Arbeitsblatt mit einem separaten Lösungsblatt. Integration durch Substitution Faltbaltt integration durch substitution Faltblatt Adobe Acrobat Dokument 406. 6 KB Integration durch Substitution Aufgaben integration durch substitution Aufgaben 590. 6 KB In unserem Shop findet ihr passende Lernmaterialien, z. B. Trainingsbücher mit Übungsaufgaben. Mit jedem Kauf unterstützt ihr den Betrieb unserer Webseite.
Wichtige Inhalte in diesem Video Bei der Integration durch Substitution muss man einige Punkte beachten. In diesem Zusammenhäng erklären wir zunächst die Integrationsformel und beweisen deren Gültigkeit. Anschließend zeigen wir anhand einiger Beispiele, wie du damit Integrationsaufgaben in der Praxis lösen kannst. Kurz und kompakt haben wir für dich das Thema auch in einem Video aufbereitet. Dort werden die Zusammenhänge gut einprägsam veranschaulicht, was dir das Lernen erleichtern dürfte. Integration durch Substitution einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:10) Das Ziel der Substitution ist es, ein kompliziertes Integral in ein einfacheres zu überführen. Bei der Integration durch Substitution wird in der Praxis meist die Integrationsvariable so durch eine Funktion ersetzt, also substituiert, sodass sich der Integrand vereinfacht. Substitutionsregel Dabei gilt die folgende Gleichung für eine stetige Funktion und eine stetig differenzierbare Funktion:. Deren Gültigkeit lässt sich mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beweisen.
f(x) \, {\color{red}\textrm{d}x} = \int \! f(\varphi(u)) \cdot {\color{red}\varphi'(u) \, \textrm{d}u} $$ etwas genauer anschauen, können wir feststellen, dass gilt: $$ {\fcolorbox{red}{}{$\textrm{d}x = \varphi'(u) \, \textrm{d}u$}} $$ $\Rightarrow$ Die Integrationsvariable $x$ wird zu $u$! zu 2) Der Begriff Substitution kommt vom aus dem Lateinischen und bedeutet ersetzen. Was im 2. Schritt genau ersetzt wird, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an. Beispiele Beispiel 1 Berechne $\int \! \text{e}^{2x} \, \textrm{d}x$. Substitution vorbereiten Den zu substituierenden Term bestimmen Wenn im Exponenten nur ein $x$ stehen würde, wäre die Sache einfach: $$ \int \! \text{e}^{x} \, \textrm{d}x = e^x + C $$ Die Stammfunktion der e-Funktion ist die e-Funktion selbst. Ganz so einfach ist das in unserem Beispiel aber nicht, denn der Exponent $2x$ stört. Im 1.
x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \textrm{d}x $$ mit $x = u^2 - 1$ $\sqrt{x + 1} = u$ $\textrm{d}x = 2u \, \textrm{d}u$ ergibt $$ F(u) = \int \! (u^2 - 1) \cdot u^3 \cdot 2u \, \textrm{d}u $$ Zusammenrechnen $$ \begin{align*} F(u) &= \int \! (u^2 - 1) \cdot 2u^4 \, \textrm{d}u \\[5px] &= \int \! 2u^6 - 2u^4 \, \textrm{d}u \\[5px] &= 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \textrm{d}u \end{align*} $$ Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Integration $$ \begin{align*} F(u) &= 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \textrm{d}u \\[5px] &= 2 \cdot \left(\frac{1}{7}u^7 - \frac{1}{5}u^5\right) + C \\[5px] &= \frac{2}{7}u^7 - \frac{2}{5}u^5 + C \end{align*} $$ Rücksubstitution $$ {\fcolorbox{orange}{}{$u = \sqrt{x + 1}$}} $$ in $$ F(u) = \frac{2}{7}{\color{red}u}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}u}^5 + C $$ ergibt $$ F(x) = \frac{2}{7}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^5 + C $$ Auf eine weitere Vereinfachung des Terms wird an dieser Stelle verzichtet.